Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số

Về văn bản hàm số, không tính khảo sát và vẽ đồ vật thị của hàm số còn có rất nhiều dạng toán liên quan đến đồ gia dụng thị của hàm số, họ sẽ cùng ôn tập lại những dạng toán này nhé.

Bạn đang xem: Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số

Các dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số như tìm cùng biện luận số giao điểm của 2 trang bị thị hàm số, Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị, phương trình tiếp tuyến của đồ vật thị đòi hỏi sự vận dụng linh hoạt của các em, dưới đây là một số dạng toán cơ bản.

* Cơ bạn dạng có 3 dạng toán liên quan tới khảo sát điều tra hàm số là:

- Dạng 1: Biện luận số giao điểm của 2 đường

- Dạng 2: Biện luận bởi đồ thị số nghiệm của phương trình

- Dạng 3: Tìm phương trình tiếp tuyến đường của vật thị

* Bài toán 1: Biện luận số giao điểm của 2 đường

_ phương pháp chung:

+ Trong khía cạnh phẳng (Oxy) hãy xét sự tương giao của đồ gia dụng thị nhị hàm số: y = f(x) tất cả đồ thị (C1) và y = g(x) tất cả đồ thị (C2).

+ Số giao điểm của (C1) và (C2) là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm f(x)= g(x) (1). Khi đó,bài toán quy về việc biện luận số nghiệm của phương trình (1). Thông thường :

- nếu (1) là phương trình trùng phương thì quy về phương trình bậc 2

- ví như (1) là phương trình bậc 3 hoặc bậc cao thì ta rất có thể hướng đến

_ Nếu xa lánh được m chuyển (1) thành: F(x) = h(m) thì bài toán quy về khảo sát điều tra hàm số y=F(x)

_ trường hợp phương trình tất cả nghiệm x=x0 thì chuyển (1) thành: (x − x0)h(x,m) = 0 và liên tiếp biện luận với phương trình h(x,m)=0

 Ví dụ 1: Cho hàm số y = (m + 1) x4 − 4x2 + 1 (C). Kiếm tìm m nhằm (C) giảm trục hoành tại:

a) Ít tốt nhất một điểm

b) bốn điểm phân biệt

* Lời giải: 

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) cùng trục hoàng là nghiệm của phương trình:

(m + 1) x4 − 4x2 + 1 = 0 (1)

Đặt t= x2, t≥0 phương trình trở thành

(m + 1) t2 − 4t + 1 = 0 (2)

a) Đồ thị (C) cắt trục hoành tại ít nhất một điểm khi và chỉ khi phương trình (1) cónghiệm phương trình (2) có nghiệm không âm.

Với m=-1 , phương trình (2) biến hóa −4t + 1 = 0 ⇔ t = (1/4) > 0(thỏa mãn)

Với m ≠ -1 thì phương trình (2) là phương trình bậc 2, ta xét bố trường đúng theo sau:

- Trường đúng theo 1 : (2) bao gồm hai nghiệm ko âm:

- Trường hợp 2 : phương trình (2) tất cả hai nghiệm trái dấu: khi còn chỉ khi p. 1/(m+1) m phương trình (1) tất cả 4 nghiệm khác 0 phương trình (2) gồm 2 nghiệm dương phân biệt_ với m= -1 dễ thấy không vừa lòng (Phương trình (2) chỉ có một nghiệm dương)

_ Với m ≠ -1 thì phương trình (2) là phương trình bậc 2

Phương trình (2) bao gồm hai nghiệm dương khi và chỉ khi:

Kết luận: Vậy cùng với -1* Bài toán 2: Biện luận bởi đồ thị số nghiệm của phương trình:

- mang đến phương trình F(x, m) = 0 (*)

- thay đổi phương trình về dạng: f(x) = g(m).

- Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của (C ): y = f(x) và mặt đường thẳng (d): y = g(m) (d là mặt đường thẳng thuộc phương Ox)

- nhờ vào đồ thị nhằm biện luận.

Xem thêm: Lịch Trưc Tiếp Bóng Đá Hôm Nay Mới Nhất, Lich Phat Song Bong Da

 Ví dụ 2: Cho hàm số y=(2x-3)/(x-1) có đồ thị hàm số (H). Tìm m để mặt đường thẳng d: x+3y+m=0 cắt (H) tại hai điểm M, N sao cho tam giác AMN vuông tại điểm A(1;0)

* Lời giải: Ta có d: y=(-1/3)x-(m/3)

Hoành độ giao điểm của d với (H) là nghiệm của phương trình:

Để (H) cắt d tại nhị điểm tách biệt thì:

Ta thấy hệ trên đúng với đa số m.

Do đó d luôn luôn cắt (H) trên 2 điểm phân biệt M(x1,y1); N(x2,y2) ta có:

Áp dụng định lý Viet, ta có: x1+x2=-m-5; x1x2= -m-9

Thay vào (2) ta được : 10 (−m − 9) + (m − 9) (−m − 5) + m2 + 9 = 0 −6m − 36 = 0 m=-6

Kết luận: m=-6 là giá trị bắt buộc tìm

* Bài toán 3: Phương trình tiếp đường của đồ vật thị hàm số

Cho hàm số y = f(x) gồm đồ thị (C)

+ thông số góc của tiếp đường với (C) tại điểm M(x0; y0) Î (C) là : k = y’(x0)

+ PT tiếp tuyến đường của (C) trên điểm M(x0,y0) (C ) bao gồm dạng: y = f’(x0)(x-x0)+ y0

* Chú ý: 

+ Tiếp tuyến song song với (d): y = ax + b có thông số góc k = a.

+ Tiếp tuyến vuông góc với (d): y = ax + b có thông số góc k = -1/a

- một số trong những ví dụ viết phương trình tiếp tuyến đường của đồ dùng thị hàm số sau:

 Ví dụ 3: Cho hàm số y=x3–6x2+9x">y=x3 – 6x2 + 9x có đồ thị (C). Hãy viết phương trình tiếp đường tại điểm M(2,2) ∈(C).

* Lời giải: Ta gồm y"=3x2 - 12x + 0 cùng với x=2 thì y"(2)=-3

Phương trình tiếp tuyến với vật thị (C) trên điểm A(2,2) là: y = (-3)(x-2)+2 = -3x+8

 Ví dụ 4: mang đến hàm số y=x3 + 3x2 - 1 gồm đồ thi (C). Viết phương trình tiếp đường của đồ vật thị (C) tại điểm gồm hoành độ là -1.

Lời giải: Ta có hoành độ tiếp điểm x = -2 thì y =1 với y" = 2x2 + 6x ⇒ y"(-1)=-3

Phương trình tiếp tuyến đường của đồ thị hàm số tại (-1,1) là y = (-3)(x+1) + 1 = -3x - 2

 Ví dụ 5: Cho hàm số y = x3 - 3x2 gồm đồ thì (C). Viết phương trình tiếp tuyến đường đồ thị (C) biết thông số góc của tiếp con đường k = - 3.

* Lời giải: Ta tất cả y" = 3x2-6x

Tìm tọa độ tiếp điểm: y"=k ⇔ 3x2 - 6x = -3 ⇔ x = 1 ⇒ y = -2

Phương trình tiếp tuyến đường tại (1,-2) có hệ số góc k=-3 có dạng: y=(-3)(x-1)-2 = -3x + 1